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香农定理与奈奎斯特准则

浏览:14373  来源:通信人在线  日期:2020-03-02

香农定理与奈奎斯特准则是信息通信论的最基本理论,为信息通信技术的发展奠定了基础。

一、香农定理及公式

所谓信息速率,是指单位时间内传输的信息量,单位为bps。显然,在信息源那里,如果已知每一消息所含的平均信息量H和每秒内产生消息的速率r,则信息源发出的信息速率R即由下式表示:

R = rH   bps         (公式1

那么,信息源能否把它的信息以R的速度送到对方呢?这一问题由信息论中的基本定理--香农定理给出了解答。详细叙述这个定理是较复杂的,这里仅介绍其结果。

香农定理指出,如果信息源的信息速率R小于或者等于一个所谓的信道容量C,那么,在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。同时该定理还指出:如果RC,则没有任何办法传递这样的信息,或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2

所谓信道容量C,是指信道极限的传输能力,它常用最大信息速率来表述。任何信道都不可避免地存在噪声,而且其带宽也总是受限制的。因此,信道的极限传输能力会受噪声和带宽的限制。可以严格地证明,在被白色高斯噪声干扰的信道中,传送的最大信息速率C由下表1中的公式2确定。式中,B是信道带宽(Hz)S是信号功率(W)N是噪声功率(W)。公式2通常称为香农公式。

1:香农定理介绍所用公式

为对香农公式有确切的理解,我们准备用工程观点在数字信道上来阐明这个公式的正确性。在有扰信道中,传输每个符号需要一定幅值的脉冲。如果要传送M个符号,可用M种不同幅度值的脉冲代表。为了提高传送的脉冲的信息量,希望M增加。在传输的信号功率受限的情况下,脉冲幅度取值的数目越多,则各种脉冲取值之间的量化分层间隔越小。当脉冲取值间隔小到一定程度时,由于信道中噪声的干扰,使接收端难以分辨出所发送的是哪一个幅度的脉冲,这将没法获取信息量。若信号功率为S(W),信道中白色高斯噪声的功率为N(W),则它的均方根电压值为N1/2。为了使信号幅度分层数(或称量化取值数)最多而又能使接收端可分辨,则各取值之间的最小间隔应大于等于N1/2。所以接收端能够无误辨别的最大电平数目为公式3所示(列于表1中)。L个电平的每一波形能够传送的最大平均信息量公式4(列于表1中)。

另外,可以证明,带宽为B(Hz)的系统每秒最多能传送2B个脉冲(这就是下面要讲的奈奎斯特准则)。因此,根据公式1指出的信息速率定义,带宽为B(Hz)的信道能够传送的最大信息速率为公式5(列于表1中)。

由公式5可以看出,扩大信道的传输带宽或提高信号传输的信噪比都可以增加容量。但应当注意,由于信号功率的受限和噪声的存在,信噪比不能无限增加。而且信道中白色高斯噪声的功率与信道带宽成正比,即N = n0B (n0为信道中噪声的功率谱密度)。在信道带宽无限扩大时,信道容量趋于某一极限值。可见在有扰信道中,信道容量不可能无限大,C总是一个有限值。

香农信道容量公式(公式2)还告诉我们,在信道容量给定的情况下,信道带宽和信噪比大小可以互换,即在信道容量保持不变的条件下,可以用较大的带宽,较小的信噪比;也可以用较小的带宽,较大的信噪比来传输信息。这一原理对通信系统的设计有着指导性意义。

实现了极限信息速率传送的且能达到任意小差错率的通信系统,还应该指出的是香农定理只证明了理想通信系统的“存在性”,但它却没有指出这种通信系统的实现方法。因此,理想系统通常只能作为其他系统的理论界限。另外,上述的讨论均是在信道噪声为高斯白噪声的前提下进行的。对于其他类型的噪声,则香农公式需要加以修正。

作为一个例题,下面我们将应用上述概念来计算传输电视图像信号时所需的带宽。电视图像可以大致认为由300000个小像元组成。对于一般要求的对比度,每一像元大约取10个可辨别的亮度电平(例如对应黑色、深灰色、浅灰色、白色等)。现假设对于任何像元,10个亮度电平是等概率地出现的,每秒发送30帧图像,还已知为了满意地重现图像,要求信噪比S/N1000(30dB)。在这种条件下,我们来计算传输上述信号所需的带宽。

首先计算每一像元所含的信息量,因为每一像元能以等概率取10个亮度电平,所以每个像元的信息量为log210= 3.32bit。每帧图像的信息量为300000×3.32 = 996000bit。因为每秒有30帧,所以,每秒内传送的信息量为996000×30 = 29.9×106 bit。显然,这就是需要传送的信息速率。为了传输此信号,信道容量C必须至少等于29.9×106 bps,即C=29.9×106 bps。因为已知S/N=1000,因此,将CS/N代人公式2可得所需信道的传输带宽B如公式6(列于表1中)。所以,所求带宽B约为3MHz

二、奈奎斯特准则

香农定理是针对噪声信道而言,它对模拟信道和数字信道都适用。对于无噪声的数字信道而言,另有奈奎斯特(Nyquist)准则指明其信道容量。

奈奎斯特准则指出:频带宽度为BHz)的无噪声数字信道,所能传输的信号的最高码元速率为2B波特(Baud),则最大信息速率C由下式确定,式中,N为码元所能取得的离散值的个数。

C = 2B log2 N       bps                 (公式7

另外,这里顺便介绍一下信息速率与码元速率的关系。在数字传输系统中有一个“码元速率”的概念,码元速率V指的是每秒信号状态变化的次数,以波特(Baud)作为单位。由于某给定时刻信号可能取的离散值的个数(奈奎斯特公式中的N)对各个系统可以不一样,码元速率V和信息速率C在数值上是不一定相等的,但它们间有如下关系:

C = V log2 N                            (公式8

由于在许多场合下,通常信号只能取两种不同的状态(N=2),此时码元速率V和信息速率C的数值就相等了。在这种情况下,Baudbps(或b/s)这两个单位就可以混用了。信息速率有时也称为数据速率;码元速率有时又称为调制速率。

欲进一步了解摩尔定律的请进入

附录
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